u deskriptivne mjere Oni su osnova deskriptivne statistike i, iako mogu zvučati vrlo tehnički, mi ih zapravo koristimo svakodnevno, a da toga nismo ni svjesni. Svaki put kada govorite o "prosječnoj ocjeni na ispitu", "većina ljudi preferira..." ili da "postoji velika razlika između plata", nesvjesno koristite ideje vezane za ove mjere.
U bilo kojem analiza podatakaBilo da se radi o društvenim naukama, ekonomiji, zdravstvu ili svakodnevnom poslovanju, potrebni su nam alati koji nam pomažu da sažeti, organizirati i razumjeti velike količine informacijaUpravo to rade deskriptivne mjere: one sažimaju mnogo brojeva u nekoliko lako interpretiranih vrijednosti, omogućavajući nam da na prvi pogled vidimo šta se dešava sa varijablama koje proučavamo.
Šta su deskriptivne mjere i za šta se koriste?
Kada pričamo deskriptivne mjere u statistici Mislimo na skup numeričkih vrijednosti izračunatih iz podataka koji sumiraju različite aspekte njegovog ponašanja. Ove mjere nam omogućavaju da odgovorimo na pitanja kao što su: Koja je "tipična" vrijednost? Kako su podaci grupirani? Postoji li velika varijabilnost? Koliko su zapažanja slična jedno drugom?
Da bi se ovaj zadatak organizovao, deskriptivne mjere se obično grupišu u nekoliko kategorija: mjere položaja ili centralne tendencije, koji ukazuju gdje se podaci „nalaze“; mjere disperzijekoje nam govore koliko su međusobno udaljene; i druge komplementarne mjere, kao što su relativni koeficijenti ili neke mjere oblika, koje mogu pomoći u preciziranju analize.
U mnogim univerzitetskim bilješkama i priručnicima, deskriptivne mjere se pojavljuju uz jednostavni numerički primjerikao što su mali setovi novčanica, plate ili prodate količine. To je zato što je najbolji način da se shvati doprinos svake od ovih mjera da se vidi kako se izračunavaju i koje specifične informacije nam daju o velikom skupu zapažanja.
Mjere položaja ili centralne tendencije
u mjere položaja ili centralne tendencije Oni nam govore koja vrijednost se može smatrati najreprezentativnijom za skup podataka. Daju nam ideju o tome gdje su opažanja "koncentrirana" ili koja bi bila tipična ili centralna vrijednost, da tako kažemo. Najčešće korišteni su srednji, u medijan I to modasvaki sa svojim specifičnostima i preporučenom upotrebom.
Ove mjere se primjenjuju i na negrupirane podatke (liste pojedinačnih vrijednosti) i na podatke grupirane u tabelama frekvencija. Mnogi univerzitetski statistički materijali počinju objašnjenjem najjednostavnije verzije, koristeći skup vrijednosti X1, X2, ..., Xn, a zatim generaliziraju na složenije slučajeve. Važno je razumjeti šta svaka mjera predstavlja i kada je ima smisla koristiti.
Prosječna vrijednost uzorka ili prosjek
La prosjek uzorka To je vjerovatno najpoznatija mjera centralne tendencije. Ako imamo n podataka X1, X2, ..., Xn, prosjek uzorka je njihova aritmetička sredina, odnosno zbir svih vrijednosti podijeljen ukupnim brojem opažanja. To je poznati "prosjek" koji se spominje kada se raspravlja o ocjenama, platama, vremenu čekanja ili bilo kojoj drugoj kvantitativnoj veličini.
Formalno, ako nazovemo X̄ Prosječna vrijednost uzorka se izračunava kao X̄ = (X1 + X2 + … + Xn) / n. Mnogi radovi predstavljaju ovu definiciju u sažetom obliku, ali suština je razumjeti da prosjek ravnomjerno raspoređuje "ukupnu količinu" među svim pojedincima. Na primjer, ako saberemo ocjene grupe učenika i podijelimo s brojem učenika, dobijamo prosječnu ocjenu koja pokazuje ukupni uspjeh grupe.
Prosječna vrijednost uzorka ima vrlo korisna svojstva, ali i značajan nedostatak: Veoma je osjetljiv na ekstremne vrijednosti.Ako je vrijednost unutar skupa podataka značajno veća ili manja od ostalih, ta vrijednost će "povući" srednju vrijednost gore ili dolje. Stoga, u situacijama s vrlo izraženim odstupanjima, to možda nije najprikladnija mjera za sumiranje ukupnog položaja.
Uzorak načina rada
La uzorak načina rada To je vrijednost koja se najčešće pojavljuje u skupu podataka. Definira se kao podatkovna točka s najvećom apsolutnom frekvencijom, odnosno ona koja se najčešće pojavljuje. Za razliku od srednje vrijednosti, ne dobiva se aritmetičkim operacijama, već brojanjem koliko se puta svaka moguća vrijednost opaža.
Važan detalj je taj modni Možda ne postoji ili možda nije jedinstvenoMoguće je da sve vrijednosti budu različite i da se nijedna ne ponavlja više od jednom; u tom slučaju se distribucija naziva amodalna. Također je moguće da dvije ili više vrijednosti imaju istu maksimalnu frekvenciju; tada govorimo o bimodalnim ili multimodalnim distribucijama, a nekoliko modova se razmatra istovremeno.
Moda je posebno korisna kada radimo sa kvalitativne ili kategoričke varijablegdje izračunavanje numeričkog prosjeka nema smisla. Na primjer, ako želimo znati preferencije većine među nekoliko ponuđenih odgovora, mod nam govori koju kategoriju najčešće biraju ispitanici.
Medijan uzorka
La medijana uzorka Medijana je vrijednost koja zauzima centralnu poziciju kada se podaci sortiraju od najmanje do najveće. Da bi se dobila, prvo se presoređuju opažanja, a zatim se locira srednja vrijednost. Ako je broj opažanja neparan, medijana je upravo ta centralna vrijednost; ako je paran, definira se kao prosjek dvije centralne vrijednosti.
U mnogim jednostavnim primjerima, ovi koraci su objašnjeni vrlo vizualno: podaci se navode, sortiraju, a zatim precrtavaju izvana prema unutra dok ne ostane samo onaj u sredini. Ovo jasno pokazuje da je medijana tačka koja podijelite uzorak na dvije polovine50% podataka je ispod, a ostalih 50% iznad.
Zanimljiv detalj je da, za razliku od prosjeka, medijana Nije toliko pod utjecajem ekstremnih vrijednosti.Ako uređenom skupu dodamo vrlo veliku ili vrlo malu vrijednost, medijana se može jedva promijeniti, dok se srednja vrijednost značajno pomiče. Stoga, kada postoje izuzetci ili je distribucija jako asimetrična, medijana se često smatra robusnijom mjerom centralne tendencije.
Primjer srednje vrijednosti, medijane i modusa
Nastavni materijali često uključuju primjer sličan ovome: dati su podaci 3, 5, 7, 7, 8, 9 i traže se glavne mjere centralne tendencije. Srednja vrijednost se izračunava sabiranjem svih vrijednosti i dijeljenjem s ukupnim brojem podataka: (3 + 5 + 7 + 7 + 8 + 9) / 6 = 39 / 6 = 6,5. Dakle, Prosjek uzorka je 6,5, što bi bila prosječna vrijednost skupa.
Gledajući uređenu listu, vidimo da su centralne vrijednosti treća i četvrta, što je u ovom slučaju 7 i 7. Medijana se dobija uzimanjem prosjeka ove dvije vrijednosti, što daje medijana uzorka jednaka 7Budući da se ponavljaju, medijana se tačno poklapa s tom vrijednošću, koja djeluje kao tačka ravnoteže za donjih 50% i gornjih 50%.
Što se tiče modusa, jednostavno pogledajte koja se vrijednost najčešće pojavljuje. U ovom primjeru, broj 7 se ponavlja dva puta, dok se ostali pojavljuju samo jednom. Stoga, Primjerni način rada je također 7U ovom skupu podataka, medijana i mod se slučajno poklapaju, ali to nije uvijek slučaj.
Ove vrste jednostavnih numeričkih primjera su vrlo česte u prezentacijama deskriptivne statistike i služe da pojačaju ideju da Svako pozicijsko mjerenje dodaje posebnu nijansuProsjek opisuje ukupnu ravnotežu, medijana centralnu poziciju otpornu na ekstremne vrijednosti, a modus najčešću kategoriju ili vrijednost.
Mjere disperzije
Pored znanja koja je tipična ili centralna vrijednost, važno je znati i koliko su podaci raspršeni okolo sa te pozicije. Nije isto da li su sva zapažanja vrlo blizu jedno drugom kao da postoje velike razlike među njima. mjere disperzije Oni precizno kvantificiraju tu varijabilnost, odnosno stepen disperzije podataka u odnosu na njihovu centralnu tendenciju.
U najosnovnijim statističkim bilješkama predstavljeno je nekoliko mjera disperzije: čin, u varijansa, u tipično odstupanje y el koeficijent varijacijeSvaki od njih pruža drugačiji način da se vidi kolika je razlika između vrijednosti varijable, a koriste se na komplementaran način kako bi se dobio potpuni pregled ponašanja podataka.
Rango
El čin To je vjerovatno najjednostavnija mjera disperzije od svih. Definiše se kao razlika između maksimalne i minimalne vrijednosti podataka. Ako poredamo opažanja od najmanje do najveće kao X1 ≤ X2 ≤ … ≤ Xn, raspon se izračunava kao R = Xn − X1. Ova formula se često pojavljuje u nastavnim materijalima kao prvi pristup ideji disperzije.
Raspon nam daje neposredne informacije o ukupni raspon podatakaOvo pokazuje koliko jedinica dijeli najmanju vrijednost od najveće. Međutim, ima značajno ograničenje: zavisi samo od ove dvije ekstremne vrijednosti i ne uzima u obzir kako su međupodaci distribuirani. Stoga, iako je koristan kao brzi indikator, obično se dopunjuje drugim, složenijim mjerama.
varijacija
La varijansa To je mjera disperzije koja uzima u obzir sva zapažanja i zasniva se na kvadratu razlika od srednje vrijednosti. Intuitivno, mjeri koliko se, u prosjeku, podaci odstupaju od srednje vrijednosti uzorka. Što je varijanca veća, to su vrijednosti raspršenije oko srednje vrijednosti; što je varijanca manja, to su koncentriranije.
U statističkim bilješkama, varijanca je predstavljena svojom formalnom definicijom, ali kada je u pitanju njeno izračunavanje Obično se koristi praktičnija ekvivalentna formula.Ovo izbjegava direktan rad sa svim kvadratima razlika. Za uzorke podataka, varijanca se obično predstavlja sa s² i, iako nisu svi teorijski detalji uvijek obuhvaćeni na početnim nivoima, naglašava se da je to srednja vrijednost kvadrata odstupanja od srednje vrijednosti.
Jedan aspekt koji treba uzeti u obzir je da je varijanca izražena u kvadratne jediniceNa primjer, ako se varijabla mjeri u eurima, varijanca se mjeri u kvadratnim eurima, što nema tako intuitivno, direktno tumačenje. To je jedan od razloga zašto se standardna devijacija često preferira, jer vraća mjerenje u originalne jedinice.
Standardna devijacija
La tipično odstupanjeStandardna devijacija, koja se naziva i varijansa, predstavlja kvadratni korijen varijanse. Dakle, ako je varijansa uzorka s², standardna devijacija je s. Izračunavanje kvadratnog korijena vraća nas na prvobitne jedinice varijable, što ovu mjeru čini mnogo lakšom za tumačenje u praksi.
U univerzitetskoj nastavi statistike naglašava se da je standardna devijacija Ne treba je miješati sa tipičnom greškom ili standardnom greškom.Iako su nazivi slični, standardna greška je koncept u inferencijalnoj statistici koji se odnosi na varijabilnost estimatora, dok je standardna devijacija mjera disperzije podataka unutar uzorka. Ova razlika se često naglašava izrazima poput "pazite da ih ne pomiješate" kako bi se izbjegli nesporazumi.
Standardna devijacija nam govori, približno, koliko su podatkovne tačke udaljene od srednje vrijednosti. U mnogim distribucijama, značajan dio opažanja leži unutar intervala između srednje vrijednosti minus jedna standardna devijacija i srednje vrijednosti plus jedna standardna devijacija. Stoga je ova mjera fundamentalna kada... procijeniti stabilnost ili varijabilnost podataka u brojnim kontekstima.
Koeficijent varijacije
El koeficijent varijacije To je mjera relativne disperzije koja povezuje standardnu devijaciju sa srednjom vrijednošću. Iako tačan izraz može varirati ovisno o konvenciji, obično se definira kao omjer između standardne devijacije i srednje vrijednosti, često pomnožen sa 100 da bi se izrazio kao postotak. To je koristan alat kada želimo usporediti varijabilnost različitih varijabli koje su... vrlo različiti prosjeci ili različite jedinice.
Na primjer, ako uporedimo plate u dva sektora s različitim skalama, jedan sektor bi mogao imati veću standardnu devijaciju u apsolutnom smislu, ali niži koeficijent varijacije, što ukazuje na to da su plate proporcionalno više koncentrirane oko svoje srednje vrijednosti. U tom smislu, koeficijent varijacije je posebno zanimljiv za analizirati disperziju u relativnom smislu, izvan specifičnih mjernih jedinica.
Odnos između mjera pozicije i disperzije
U bilo kojoj minimalno rigoroznoj analizi podataka, nema smisla fokusirati se isključivo na srednju vrijednost ili standardnu devijaciju. Uobičajeni pristup je njihovo kombinovanje. mjere položaja i disperzije da bi se dobio bogatiji pogled. Na primjer, možemo imati dvije grupe s istom srednjom vrijednošću, ali s vrlo različitim varijansama; u tom slučaju, iako je centralna vrijednost ista, stvarnost svake grupe je vrlo različita.
Mjere položaja nam govore u kakvom se okruženju podaci kreću, dok mjere disperzije pojašnjavaju kako su raspoređeni po tom okruženjuVisoka srednja vrijednost s malom disperzijom ukazuje na homogenu grupu s visokim vrijednostima; slična srednja vrijednost s visokom disperzijom odražava velike razlike između pojedinačnih opažanja. Stoga, u praksi, statističke tabele i sažeci obično uključuju barem jednu mjeru centralne tendencije i jednu mjeru varijabilnosti.
Sljedeća struktura se često pojavljuje u materijalima deskriptivne statistike raznih univerziteta: definicija varijable, tabela frekvencija, grafički prikazIzračunavanje srednje vrijednosti, medijane, moda, a zatim raspona, varijanse, standardne devijacije i koeficijenta varijacije. Ovaj redoslijed rada odražava ideju da Deskriptivne mjere formiraju koherentni blok što omogućava razumijevanje podataka iz nekoliko komplementarnih uglova.
Nadalje, kako se tema detaljnije istražuje, mogu se uvesti i druge srodne mjere, kao što su percentili, kvartili ili mjere asimetrije i kurtoze, koje proširuju deskriptivnu analizu. Međutim, osnovni koncepti objašnjeni u početnim temama statistike obično se sastoje upravo od mjera položaja i disperzije o kojima smo raspravljali.
Cijeli ovaj set alata ima vrlo jasnu praktičnu upotrebu: olakšati donošenje odluka na osnovu podatakaBilo da je u univerzitetsko okruženjeU javnoj upravi ili privatnoj kompaniji, poznavanje položaja i varijabilnosti ključne varijable pomaže u pravilnom tumačenju dostupnih informacija i izbjegavanju ishitrenih zaključaka.
Deskriptivna statistika, a unutar nje i deskriptivne mjere, omogućavaju nam da transformišemo beskonačne liste brojeva u nekoliko upravljivih i intuitivnih indikatora. Zahvaljujući srednjoj vrijednosti, medijani, modu, rasponu, varijansi, standardnoj devijaciji i relativnim koeficijentima, možemo steći vrlo precizno razumijevanje ponašanja podataka, otkriti obrasce, identificirati anomalije i postaviti temelje za naprednije analize ako je potrebno.
